Cómo el número de Rayleigh relaciona la conducción y la convección

El concepto

Para comprender la importancia y significado del número de Rayleigh, debemos centrarnos inicialmente en el concepto de convección natural y cuando se produce.

El término convección proviene del verbo latino “convecto convecto-are” que significa llevar a un sitio. En transferencia de calor el concepto de convección se refiere al proceso de “alejar” la energía térmica, desde/hacia un sólido por medio de un fluido adyacente en movimiento, en presencia de un gradiente de temperaturas. El fenómeno global envuelve dos mecanismos:

• Una primera fase con conducción de calor; entre el sólido y la capa adyacente de fluido en reposo que podríamos denominar fase inicial.

• Una segunda fase con movimiento de las partículas del fluido, alejándose del sólido y dejando paso a otras del mismo fluido, que podríamos denominar propiamente convección.

Se pueden considerar dos grandes tipos en función del origen del movimiento del fluido:

• Convección forzada en la que el movimiento del fluido se debe a algún factor externo, como ventiladores, extractores o bombas.

• Convección natural en la que el movimiento del fluido se debe exclusivamente a diferencia de propiedades del propio fluido entre dos puntos determinados del proceso.

Convección natural

La convección natural se genera en fluidos en presencia de un campo gravitatorio debido a diferencias de densidad que se producen por la existencia de diferencias de temperatura en el seno del fluido. Normalmente, las variaciones de densidad son debidas a gradientes de temperaturas, aunque es también común el caso de que se produzcan debido a gradientes de concentración y pueden presentarse fenómenos de convección natural en fluidos con carga eléctrica cuando son sometidos a la acción de campos eléctricos o magnéticos.

El fenómeno más simple, y también más común, el de un fluido situado en un campo gravitatorio y en el que existen variaciones de densidad provocadas por gradientes de temperatura. Los movimientos generados en el fluido en estas circunstancias constituyen el fenómeno conocido universalmente como convección natural de Rayleigh-Bénard.

El movimiento de fluidos debido a convección natural se presenta tanto en la naturaleza como en procesos industriales. En la naturaleza se presenta por ejemplo en el proceso de mezclado de las aguas oceánicas y en la generación de tormentas.

En la industria su presencia es constante: en los equipos electrónicos o en los motores eléctricos industriales, es un factor determinante el aprovechamiento de la convección natural para la disipación de calor. También es importante su aportación en la ventilación de salas de calderas o de producción, o en el aislamiento y calefacción de edificios.

Dada pues su importancia, es necesario un conocimiento amplio de sus características a fin de poder optimizar su aplicación. Obviamente entre estas características a conocer se encuentra la determinación del momento en que se produce el cambio entre fase inicial y segunda fase.

En la transferencia de calor/energía por convección forzada no existen dudas: la puesta en marcha del elemento externo que produce el movimiento, ventilador o bomba. Pero ¿y en la convección natural?

La teoría

En 1916 Lord Rayleigh en su artículo “On Convection Currents in a Horizontal Layer of Fluid, When the Higher Temperature Is Under Side”, desarrolló una teoría a partir de los experimentos anteriores de Henri Bénard en 1906, en donde explica todos los mecanismos físicos involucrados en el fenómeno de la convección natural y además determina teóricamente la existencia de un incremento de temperaturas crítico por debajo del cual no puede existir movimiento convectivo en el fluido debido exclusivamente a variaciones de propiedades. Hasta superar este valor crítico, hay una “situación estable” – steady state – en el fluido.

Una situación es estable si es estacionaria, es decir, si a lo largo del tiempo, su evolución no se ve alterada por una pequeña modificación de sus condiciones iniciales o formulándolo inversamente, una situación es inestable si una ligera alteración de las condiciones iniciales provoca a su vez, una significativa alteración en la evolución del sistema.

Cuando un fluido, cuya densidad no es uniforme, se encuentra en presencia de la gravedad, la fuerza de flotabilidad, o empuje de Arquímedes, hace que una porción de fluido que sea más densa que su entorno tienda a descender, mientras que una con densidad menor tienda a ascender.

Deberíamos pensar pues, que un calentamiento de un fluido y por tanto variación de densidad del mismo en diferentes puntos provocaría de inmediato un movimiento convectivo. No obstante, además de las fuerzas de flotabilidad, deben tenerse en cuenta en el proceso los mecanismos que tienden a contrarrestar su efecto: la fricción, originada por las fuerzas de viscosidad, y el de conducción o difusión de calor, que tiende a homogeneizar en el seno del fluido el campo de temperaturas y, por tanto, también el de densidades.

De esta forma, si en un fluido inicialmente en reposo con una distribución de densidades creciente en la dirección ascendente se introduce una perturbación, una parcela de fluido volverá a su situación de reposo – “steady state” – o se mantendrá en movimiento – situación inestable – dependiendo de la importancia relativa de los tres efectos antes citados.

Sólo la situación inestable es la que da lugar al fenómeno de convección natural o convección de Bénard-Rayleigh.

En la Fig 1., tenemos dos placas separadas a una distancia d y con una capa de fluido en reposo entre ellas. Inicialmente se presenta una estratificación debido al calentamiento desde su base (T2>T1) , estableciéndose un gradiente de temperaturas, función de la distancia relativa de cada capa.

Esto es debido a que la densidad del líquido decrece ante temperaturas crecientes y por tanto las capas superiores son más densas que las capas de lıquido inferiores. La estratificación producirá una configuración que podría llegar a ser potencialmente inestable bajo un campo gravitatorio vertical.

Fig 1. Situación estable, con estratificación según temperatura/densidad

Dado que cada capa tiene una mayor temperatura y por tanto una menor densidad que la capa superior, sufriría una fuerza de flotación diferencial que la impulsaría hacia la parte superior. Al encontrar en su camino fluido aún más frío y denso, reforzaría el movimiento, hasta llegar a convertirse en un elemento desestabilizador de la evolución del sistema

Sin embargo, como ya hemos comentado, dos procesos estabilizadores se oponen. Primero, la velocidad inducida tiende naturalmente a decaer debido a la fricción que provoca la viscosidad. En segundo lugar, la difusión térmica provocaría una tendencia a que la temperatura de las capas uniformizasen su temperatura. Por ello, la capa de fluido permanece en reposo mientas los procesos estabilizadores dominan hasta que la perturbación – diferencial de densidades provocadas por la temperatura – es lo suficientemente elevada como para que se desarrolle:

un ∆T mayor a un valor crıtico ∆Tc puede denominarse umbral de inestabilidad

En el modelo de las dos placas anteriores, ya no hay estratificación y la distribución del fluido por temperatura muestra un circuito ascendente/descendente como se muestra en la Fig 2., formándose las llamadas celdas convectivas.

Fig 2. Celdas convectivas. La fuerza de flotación es superior a la resistencia por viscosidad y a la difusión térmica

Para determinar este umbral de inestabilidad, Rayleigh basó su estudio en la estabilidad de pequeñas perturbaciones respecto a la situación de reposo, por lo que linealizó en torno a la solución de equilibrio las ecuaciones de Navier-Stokes que explican el movimiento del fluido entre placas descubriendo que en el sistema lineal de ecuaciones en derivadas parciales resultante, aparece de forma natural el parámetro adimensional que resume todos los parámetros que participan en este fenómeno y permite determinar el momento en que un determinado fluido bajo los efectos de un gradiente de temperaturas pasará a una situación de inestabilidad y comenzará la transferencia de calor por convección natural.

Este parámetro adimensional, llamado en su honor, número de Rayleigh tiene por formulación:

en donde:

• β, coeficiente de dilatación térmica del fluido
• ν viscosidad cinemática del fluido
• α difusividad térmica del fluido
• g aceleración de la gravedad
• h espesor de la capa fluida – o longitud característica del dominio fluido –
• ΔT diferencia de temperatura entre placas

El número de Rayleigh puede interpretarse conceptualmente como el parámetro adimensional que mide la importancia relativa entre los efectos de las fuerzas de flotabilidad y los efectos de las fuerzas de viscosidad y de la conducción térmica.

Para valores del número de Rayleigh inferiores a un cierto valor crítico, el sistema se encuentra en “steady state”. Para valores superiores a ese valor, el sistema se hace inestable y los movimientos de convección natural aparecen.

En 1926 Jeffreys determinó por primera vez el número de Rayleigh crítico para el caso de placas infinitas paralelas, Ra=1708.

Dado que como elementos determinantes en la expresión del número de Rayleigh, observamos un componente geométrico – h -, pueden existir diferencias importantes por este concepto. Con posterioridad a la determinación de Jeffreys y por medio de razonamientos teóricos y ensayos experimentales se han determinado valores de números de Ra para diferentes geometrías y características del gradiente de temperaturas – bidimensional, tridimensional, – o del contorno.

Aunque nos hemos centrado en el fenómeno de convección natural por variaciones de densidad asociadas a gradientes de temperatura en un fluido de composición homogénea, existen, como se indicó anteriormente, muchas circunstancias en las que la convección natural está originada por variaciones de densidad asociadas a gradientes de concentración en fluidos heterogéneos. Un ejemplo de esta situación se puede observar en los paisajes de Salinas Grandes en Salta (Argentina) – Fig 3 -.

Fig 3. Grandes Salinas, Salta (Argentina)

Son cuencas cerradas en donde se acumula agua en las épocas de lluvias. En la época seca el agua se evapora lentamente por acción del sol dejando capas delgadas de solución salobre muy concentrada en la que se produce convección de Bénard. El flujo de líquido arrastra la sal y se producen las celdas convectivas, en donde el fluido asciende por el centro de la celda y desciende por el perímetro y cristalizando a medida que el agua se evapora. Cuando se seca totalmente, se puede ver una estructura geométrica de sal que reproduce una forma hexagonal y que caracteriza al fenómeno de convección natural en sistemas con superficie libre.