Calcul des pertes de charge

La perte de charge qui a lieu dans une conduite est la perte d’énergie dynamique du fluide due au frottement des particules du fluide entre elles et contre les parois du conduit qui les contient. Les pertes peuvent être continues, le long de conduits réguliers, ou accidentelles ou localisées, dues à des circonstances particulières, comme un rétrécissement, un changement de direction, la présence d’une vanne, etc.

On peut donc distinguer deux types de pertes de charge, pertes primaires et pertes secondaires.

Pertes primaires

Elles se produisent lorsque le fluide est en contact avec la surface du conduit. Cela provoque un frottement entre les couches – écoulement laminaire – ou entre les particules du fluide – écoulement turbulent –.

Pertes secondaires ou pertes dans les singularités

Elles se produisent dans les transitions du conduit – rétrécissement ou expansion – et dans toutes sortes d’accessoires – robinetterie, régulateurs de tirage, coudes –.

Calculs dans une installation à fluide thermique

Le calcul de la perte de charge dans un circuit de fluide thermique est essentiel. Si nous nous limitons au fluide thermique comme fluide à considérer, cela nous permet de concevoir correctement le diamètre des tuyaux afin que chaque appareil consommateur reçoive le débit requis pour son processus productif. Le calcul est également nécessaire pour pouvoir sélectionner correctement la pompe de recirculation principale de l’installation ou les pompes des circuits secondaires.

Dans cette section, nous devons également considérer les pertes de charge qui se produisent aux points consommateurs eux-mêmes – échangeurs, réacteurs – ou dans la chaudière.
Il est également nécessaire de calculer la perte de charge dans le circuit de fumées d’une chaudière pour la détermination correcte du brûleur à installer. Cette perte de charge est ce qu’on appelle habituellement la surpression de la chaudière, le fluide circulant étant dans ce cas les gaz de combustion.

Enfin, et également avec les gaz de combustion comme fluide à considérer, nous devons calculer les pertes de charge qui se produisent dans le conduit d’évacuation des fumées – cheminée –, afin de déterminer le diamètre le plus satisfaisant et sa hauteur, et si les pertes de charge trouvées peuvent être supportées par le tirage naturel de la cheminée ou doivent être partiellement compensées par le ventilateur du brûleur.

Un calcul erroné de la perte de charge dans n’importe laquelle de ces sections, qui composent une installation à fluide thermique, affectera non seulement la production et sa qualité, mais peut représenter à moyen terme de graves problèmes dans le fonctionnement de la chaudière, voire – surtout dans les cas de sélection du brûleur et de dimensionnement de la cheminée – l’impossibilité de sa mise en service.

Tous ces calculs, compte tenu de leur spécificité, doivent être réalisés par des techniciens spécialistes, qu’ils soient de l’ingénierie responsable du projet, du fabricant des équipements ou de l’installateur.

Nous présentons ci-dessous les principales formules utilisées dans ces calculs, bien que certaines ne soient peut-être pas les plus adaptées aux installations à fluide thermique, mais elles sont utiles pour les installations auxiliaires ou secondaires, qu’elles soient à eau chaude ou à combustible liquide ou gazeux.

Nous espérons qu’elles serviront d’une part à faire comprendre la complexité de ces calculs et leur importance dans le bon fonctionnement d’une installation de fluides, et d’autre part comme compendium ou rappel pour ceux qui sont déjà familiers avec ce sujet.

Formules

Grâce à l’informatique, le calcul de la perte de charge dans les installations est aujourd’hui assez accessible, tous les logiciels et feuilles de calcul se basant sur les formules empiriques que nous voyons ci-dessous et qui sont les plus connues, utilisées et précises en ingénierie hydraulique.

Dans toutes, on peut voir qu’il y a deux facteurs toujours nécessaires et importants. D’une part, le type de tuyau du conduit, matériau, finition et donc sa rugosité. La vitesse du fluide, soit exprimée directement ou via le nombre de Reynolds, est l’autre facteur déterminant dans toutes les expressions.

Pertes primaires

Pour les pertes primaires, les formules les plus connues et utilisées sont:

• Darcy-Weisbach
• Manning
• Hazen-Williams  
• Scimeni  
• Scobey  

Dans toutes ces formules, on suppose que le tuyau est de section circulaire. Cependant, elles peuvent être utilisées pour des tuyaux de sections non circulaires, en utilisant le diamètre hydraulique dit. En utilisant ce terme, on peut étudier le comportement de l’écoulement comme s’il s’agissait d’une tuyauterie de section circulaire.

Le diamètre hydraulique, D_h ,

Où :
A aire de la section transversale du conduit
P périmètre mouillé par le fluide

Forme de la section	Aire de la section transversale	Périmètre mouillé	Diamètre hydraulique
	$\frac{\mathrm{\pi }\times D^2}{4}$	$\pi \times D$	$D$
	$a^2$	$4\times a$	$a$
	$a\times b$	$2\left(a+b\right)$	$\frac{2\times a\times b}{a+b}$
	$\frac{\pi \times \left(D_1^2–D_2^2\right)}{4}$	$\pi \times \left(D_1+D_2\right)$	$D_1–D_2$

Tableau 1. Diamètre hydraulique des sections les plus courantes

Darcy-Weisbach

Sans aucun doute, la formule la plus exacte pour les calculs hydrauliques est celle de Darcy-Weisbach et elle est la plus adaptée aux installations à fluide thermique.

La formule originale est :

En fonction du débit, l’expression devient :

Où :
h – perte de charge ou d’énergie (m)
f – coefficient de friction (adimensionnel)
L – longueur du tuyau (m)
D – diamètre intérieur du tuyau (m)
v – vitesse moyenne (m/s)
g – accélération de la gravité (m/s2)
Q – débit (m3/s)
Le facteur f dépend de :
v : vitesse (m/s)
D : diamètre (m)
ρ : densité du fluide (kg/m3)
μ : viscosité du fluide (N·s/m2)
ε : rugosité absolue (m)
εr, rugosité relative des parois du tuyau, adimensionnelle est εr = ε / D

Comme indiqué précédemment, les caractéristiques du matériau du conduit et son état sont déterminants dans la résistance que le fluide rencontre et donc dans la perte de charge produite.

En plus de cette valeur, appelée rugosité, le facteur de friction f est d’une importance vitale dans l’expression de Darcy-Weisbach, ce qui a conduit à la formulation de nombreuses expressions et graphiques pour sa détermination.

Certaines d’entre elles sont :

• Colebrook-White
• Blasius
• Prandtl et Von-Karman
• Nikuradse
• Moody
• Churchill
• Swamee-Jain

Blasius

Propose une expression dans laquelle le coefficient de friction f est donné en fonction du nombre de Reynolds, et est valable pour les tubes lisses, où la rugosité relative εr n’affecte pas l’écoulement car la sous-couche laminaire élimine les irrégularités.

Valable jusqu’à Re < 100000. L’expression est :

Prandtl et Von-Karman

Ils étendent la plage de validité de la formule de Blasius pour les tubes lisses

Nikuradse

Propose une équation valable pour les tuyaux rugueux

Colebrook-White

Colebrook-White regroupe les expressions de Prandtl-Von Karman et de Nikuradse en une seule, qui est valable pour tous types d’écoulements et de rugosités.

C’est la plus exacte et universelle, mais le problème réside dans sa complexité et le fait que pour obtenir le coefficient de friction f, il faut utiliser des méthodes itératives.

La norme UNE 149201:2008, référence pour le calcul des installations d’eau, indique que le facteur de friction doit être obtenu à partir de l’équation de Colebrook-White.

Le domaine d’application de cette formule se trouve dans la zone de transition entre écoulement laminaire et écoulement turbulent.

Pour des nombres de Reynolds très grands, le second terme situé dans la parenthèse de l’équation de Colebrook-White est négligeable. Dans ce cas, la viscosité n’influence pratiquement pas la détermination du coefficient de friction, qui dépend uniquement de la rugosité relative du tuyau. Cela se manifeste dans le diagramme de Moody – voir Fig.1 – où la courbe pour des valeurs élevées de Reynolds devient une droite horizontale.

Moody

Moody a réussi à représenter l’expression de Colebrook-White dans un abaque facile à utiliser – Fig. 1 – pour calculer “f” en fonction du nombre de Reynolds (Re) et en faisant agir la rugosité relative (εr) comme paramètre différenciateur des courbes.

Fig 1. Diagramme de Moody

Churchill

Swamee-Jain

Le calcul est direct, sans itérations. C’est une équation explicite pour le calcul du facteur de friction. L’équation donne des résultats très proches de ceux de Colebrook-White.

Si le nombre de Reynolds est très grand, en écoulement complètement turbulent, on peut simplifier le second terme dans la parenthèse au dénominateur, obtenant l’expression :

Dans le Tableau 2 sont montrées quelques valeurs de rugosité absolue pour différents matériaux.

Tableau 2. Rugosité absolue des matériaux pour les expressions de Colebrook-White, Swamee-Jain et Nikuradse

Manning

Les équations de Manning sont souvent utilisées pour le calcul des pertes de charge dans les canaux. Pour les tuyaux, elles sont valables lorsque le canal est circulaire et partiellement ou totalement rempli, ou lorsque le diamètre du tuyau est très grand.

Un des inconvénients de la formule est qu’elle ne prend en compte qu’un coefficient de rugosité (n) obtenu empiriquement, et pas les variations de viscosité avec la température.

L’expression est la suivante :

Où :
h: perte de charge ou d’énergie (m)
n: coefficient de rugosité (adimensionnel)
D: diamètre intérieur du tuyau (m)
Q: débit (m3/s)
L: longueur du tuyau (m)

Le calcul du coefficient de rugosité “n” est complexe, car il n’existe pas de méthode exacte. Pour les tuyaux, on peut consulter les valeurs de “n” dans des tableaux – voir Tableau 3 -.

Quelques-unes de ces valeurs sont résumées dans le tableau suivant :

Tableau 3. Coefficient de rugosité n pour l’expression de Manning

Hazen-Williams

La méthode Hazen-Williams est l’une des plus connues et utilisées, car la formule à utiliser est simple et son calcul est facile car le coefficient de rugosité “C” ne dépend ni de la vitesse ni du diamètre du tuyau.

Cependant, elle n’est valable que pour les tuyaux en fonte et en acier, avec de l’eau comme fluide circulant, et pour des températures entre 5 ºC et 25 ºC.

Où :
h: perte de charge ou d’énergie (m)
Q: débit (m3/s)
C: coefficient de rugosité (adimensionnel)
D: diamètre intérieur du tuyau (m)
L: longueur du tuyau (m)

Tableau 4. Coefficient de rugosité absolue des matériaux pour l’expression de Hazen-Williams

Hagen-Poiseuille

C’est une formule valable pour le calcul des pertes de charge des fluides à très faibles vitesses – écoulement laminaire –, dans des conduits cylindriques. Cela est dû au fait que le profil des vitesses dans un tuyau a une forme proche d’une parabole, où la vitesse maximale se trouve sur l’axe du tube et la vitesse est nulle à la paroi, ce qui permet de négliger les pertes par frottement avec la paroi, minimisant la rugosité du conduit et donc les caractéristiques du matériau.

Ainsi, la perte d’énergie – perte de charge – est proportionnelle à la vitesse moyenne, et donc au nombre de Reynolds – formule (15).

Rappelons que l’on considère un écoulement laminaire lorsque le nombre de Reynolds – formule (14) – est inférieur à 2040. Pour des nombres de Reynolds supérieurs, on considère l’écoulement turbulent. Cependant, le nombre de Reynolds critique qui délimite l’écoulement turbulent et laminaire dépend de la géométrie du système.

Voir dans le diagramme de Moody – Fig 1 –, les zones d’écoulement selon le nombre de Reynolds et la rugosité.

L’expression de Hagen-Poiseuille est :

Où :
h: perte de charge ou d’énergie (m)
vmedia: vitesse moyenne du fluide le long de l’axe z du système de coordonnées cylindrique (m/s)
D: diamètre intérieur du tuyau (m)
L: longueur du tuyau (m)
g: accélération de la gravité (m/s2)
Re: nombre de Reynolds, dont l’expression est :

Si nous comparons l’expression de Hagen-Poiseuille (13) avec la formule de Darcy-Weisbach (2), nous voyons qu’elles sont identiques si nous considérons le coefficient de friction f comme :

Scimeni

Utilisée exclusivement pour les tuyaux en fibrociment, le coefficient de rugosité étant intégré dans l’expression, la formule n’est pas valable pour d’autres matériaux que le fibrociment.

La formule est la suivante :

Où :
h: perte de charge ou d’énergie (m)
Q: débit (m3/s)
D: diamètre intérieur du tuyau (m)
L: longueur du tuyau (m)

Scobey

Utilisée principalement pour les tuyaux en aluminium avec des écoulements dans la zone de transition vers le régime turbulent – voir dans le diagramme de Moody, Fig 1, les différentes zones d’écoulement selon le nombre de Reynolds -.

Comme pour la formule de Scimeni, l’expression n’est valable que pour les tuyaux du matériau spécifié.

L’équation est :

Où :
h: perte de charge ou d’énergie (m)
K: coefficient de rugosité de Scobey (adimensionnel)
Q: débit (m3/s)
D: diamètre intérieur du tuyau (m)
L: longueur du tuyau (m)

Tableau 5. Coefficient K de Scobey pour différents matériaux

Pertes de charge dans les singularités

En plus des pertes de charge par frottement, il y a d’autres pertes qui se produisent aux points singuliers des tuyaux (changements de direction, coudes, joints…) et qui sont dues à des phénomènes de turbulence. La somme de ces pertes de charge accidentelles ou localisées plus les pertes par frottement donne les pertes de charge totales.

Actuellement, la plupart des fabricants de robinetterie fournissent des informations détaillées sur les pertes de charge de leurs produits, incluant par exemple des graphiques de perte de charge – Fig 2 –, en fonction de l’ouverture de la vanne.

Ces graphiques facilitent le coefficient de débit appelé Kv en unités métriques, Cv en unités impériales, qui par l’expression (18) permet d’obtenir la perte de charge de la vanne:

Où
h: perte de charge (bar)
Q: débit du fluide circulant (m3/h)
Kv: coefficient de débit de la vanne

Fig 2. Graphique de perte de charge d’une vanne manuelle fourni par le fabricant. Il indique la valeur Kv selon les tours effectués sur la volée – Handwheel rotations – et donc son degré d’ouverture

En cas d’absence de cette information, ou pour les calculs de singularités de tuyauterie, comme coudes, réductions, etc., on peut considérer deux méthodes de calcul des pertes de charge secondaires : la méthode du facteur K, et la méthode de la longueur équivalente.

Facteur K

Sauf cas exceptionnels, les pertes de charge localisées ne peuvent être déterminées que de manière expérimentale, et comme elles sont dues à une dissipation d’énergie provoquée par les turbulences, elles peuvent s’exprimer en fonction de la hauteur cinétique corrigée par un coefficient empirique appelé facteur K.

Ce coefficient dépend donc du type de singularité et de sa forme géométrique essentiellement, et est similaire au coefficient de débit fourni par les fabricants de vannes, bien que beaucoup plus généraliste et approximatif.

Dans le Tableau 6, on peut voir différentes valeurs de K pour certaines singularités.

L’équation fondamentale des pertes secondaires par le facteur K s’exprime par

Où
h: Perte de charge ou d’énergie (m)
K: Coefficient adimensionnel de résistance dépendant de l’élément produisant la perte de charge.
v: Vitesse moyenne dans l’élément (m/s)
g: Accélération de la gravité (m/s²)

Longueur équivalente

Cette méthode, sans doute la plus ancienne, consiste à attribuer une longueur de tuyau cylindrique qui produit dans le système une perte de charge de valeur similaire.

L’attribution de la longueur équivalente dépend du type de singularité et de son diamètre et est spécifiée dans des tableaux – voir Tableau 7 -.

Cependant, elle ne prend pas en compte, par exemple, l’état d’une vanne. Si elle est totalement ouverte, partiellement fermée, etc., ce qui fait que ce n’est plus une méthode très utilisée aujourd’hui.

Tableau 7. Longueur équivalente de quelques singularités

Carles Ferrer

Carles Ferrer est ingénieur industriel diplômé de l’Université de Barcelone. Il est le directeur commercial de Pirobloc et a participé au développement de projets de fluide thermique dans plus de 80 pays.