Cómo simplificar para números de Biot pequeños

Introducción

En el análisis de los procesos de transferencia de calor, se observa que algunos cuerpos pueden considerarse que se comportan como un conjunto, cuya temperatura interior permanece esencialmente uniforme – no confundir con constante – en todo momento durante dicho proceso de transferencia de calor.

En estas situaciones, la temperatura puede considerarse por tanto exclusivamente como función del tiempo, T (t). El análisis de transferencia de calor que utiliza esta idealización se conoce como sistema de análisis conjunto – Lumped System Analysis (LSA) – o método de la temperatura uniforme, y proporciona una gran simplificación en ciertas clases de problemas de transferencia de calor sin pérdidas significativas en la precisión de los resultados.

Lamentablemente para los ingenieros está simplificación no es aplicable para todos los cuerpos  y condiciones y es obligado encontrar un criterio de idoneidad de aplicación.

Ejemplos

Pongamos dos ejemplos de casos extremos.

Tenemos una pequeña bola de acero que calentamos en un horno. Las mediciones de temperatura muestran que va aumentando con el tiempo de permanencia en el horno, pero no hay prácticamente variaciones con la posición en un momento determinado. Por lo tanto la temperatura de la bola permanece casi uniforme en todo momento, y podemos hablar de la temperatura de la bola sin hacer referencia a una ubicación específica.

Cambiamos nuestra bola de acero por una pierna de cordero acompañada de patatas. Al cabo de un tiempo la superficie de la carne empieza a mostrar signos de estar crujiente habiendo alcanzado una temperatura importante, mucho mayor que la parte central de la pierna. Aunque nuestro calentamiento haya sido extremadamente lento y cuidadoso, y podamos conseguir una buena comida, pero no evitaremos la diferencia importante de temperaturas. Si además hemos colocado el horno a máxima potencia y temperatura, el resultado será “¡Qué lástima de comida¡ Esta pierna está quemada por fuera y está cruda por dentro”.

Inclusive las patatas tendrán el mismo aspecto quemadas/crudas o lo que es lo mismo se han alcanzado temperaturas muy diferentes en el centro y en la superficie de estos productos.

Fig.1  Distribución de temperaturas a) bola de acero b) pierna de cordero o patatas

Podemos ver la distribución de temperaturas en la Fig 1.

• T1 – Temperatura del aire en el horno
• Tsc – Temperatura en el interior del cuerpo
• Tss – Temperatura en la superficie del cuerpo

En nuestra bola de acero (a), Tsc y Tss son muy parecidas, mientras que en la pierna de cordero (b) la diferencia entre ambas es importante

Introduzcamos el criterio de idoneidad de la aplicación del método de temperatura uniforme con otro ejemplo:

Consiste en asimilar nuestro cuerpo a una isla. Hay unos sistemas de transporte exteriores – barcos y aviones -, que permiten llegar a la isla, mientras que también existe la red de transporte interior de la isla – autobuses, trenes, coches particulares, etc.-.

Si la frecuencia y capacidad de los elementos del transporte exterior es superior al que dispone la red interior de transporte, las personas se acumularán en las terminales portuarias y aeropuertos ya que será dificultoso encontrar algún tipo de transporte para ir a otros puntos de la isla y por tanto la densidad de población en la isla no será uniforme, con gran concentración de personas en unos puntos determinados – puertos y aeropuertos -.

Si por el contrario la red de transporte interior es efectiva, la gente se distribuirá por toda la isla y podríamos proponernos considerar una densidad de población uniforme en toda ella.

Por tanto una relación entre las capacidades de los sistemas de transporte exteriores e interiores de la isla, será una base sólida para poder imaginar si la densidad de población en la isla es uniforme o no.

Aplicación de los ejemplos

Veamos el desarrollo del ejemplo para los casos de transferencia de calor

Cuando un cuerpo está rodeado por un fluido, intercambia energía inicialmente entre el fluido y el cuerpo por convección – buques y aviones – y posteriormente e interiormente,  por conducción a/desde todos los puntos de dicho cuerpo – red de transporte interior de la isla -.

El número de Biot es un número adimensional que nos permite cuantificar y tener un criterio de aplicabilidad del sistema de análisis conjunto (LSA).

Se define como:

Razón entre convección entre fluido y cuerpo y conducción en el cuerpo.

Es igualmente válido para condiciones de calentamiento o enfriamiento del cuerpo

Desarrollemos un poco la definición anterior.

¿Qué es la conducción?

Cuando en un cuerpo existe un gradiente de temperatura en la dirección x, el calor se transmite de la región de mayor temperatura a la de menor temperatura. El calor transmitido por conducción, Qk es proporcional al gradiente de temperatura dT, y a la distancia X entre los puntos del gradiente.

El flujo de calor transferido depende de una propiedad del tipo de material del cuerpo, la conductividad térmica k, magnitud que representa la capacidad que tiene la sustancia de conducir calor y producir por tanto la consiguiente variación de temperatura.

La ecuación (1) queda finalmente como

donde k es el coeficiente de conductividad térmica y A es la sección de intercambio (A = X x L)

La ecuación (2) se conoce como Ley de Fourier

Veamos que entendemos por convección

Es el mecanismo de transferencia de calor por movimiento de masa. Puede ser natural producido solo por las diferencias de densidades de la sustancia  o forzada, cuando la sustancia es obligada a moverse de un lugar a otro – el aire con un ventilador o el agua con una bomba – . Sólo se produce en líquidos y gases donde los átomos y moléculas son libres de moverse en el medio. El calor intercambiado entre un fluido y un cuerpo se determina por la expresión:

donde α es el coeficiente de convección

A es la superficie de intercambio entre cuerpo y fluido

T₁ es la temperatura del fluido

Tss la temperatura de la superficie del cuerpo.

La ecuación (3) se conoce como Ley de Enfriamiento de Newton,

Por tanto el número de Biot (Bi) será:

En definitiva y puesto que el número de Biot es la relación entre la resistencia externa de un cuerpo a intercambiar energía por la convección  y la resistencia interna a trasmitir energía por conducción, un valor del número de Biot pequeño implica una baja resistencia a la transmisión por conducción, y por lo tanto gradientes muy bajos de temperatura dentro del cuerpo, permitiendo el sistema de análisis conjunto, y asumiendo una distribución de temperatura uniforme en todo el cuerpo.

Por supuesto, cuanto menor es el número de Biot, más exacta será la aplicación del sistema de análisis conjunto, aunque obviamente sólo totalmente precisa en el caso de resistencia de la transmisión de calor por conducción igual a cero (Bi = 0).

Un ejemplo de distribución de temperaturas en un sólido en función del tiempo t, y del valor del número de Biot, es el mostrado en la Fig. 2. En este caso mostramos un sistema de enfriamiento.

En la imagen con un cuerpo con bajo número de Biot (Bi<<1), en el instante t=0, la temperatura en el cuerpo es uniforme Ts1. La circulación de un fluido a temperatura más baja consigue enfriar progresivamente el cuerpo, pero el gradiente térmico entre la temperatura de superficie del cuerpo y la del centro del mismo siempre es muy bajo – dT ≈ cte -.

En las otras dos imágenes, vemos la distribución de temperaturas en sólidos con número de Biot más elevados. Aunque a medida que transcurre el proceso de enfriamiento los gradientes de temperatura tienden a disminuir – dT1>>dT2 -, siempre son de valores inaceptables para la aplicación de la simplifación por el método de temperatura uniforme.

En la primera imagen, podemos pues considerar que la temperatura es practicamente función exclusiva del tiempo, mientras que en los dos otros casos, también es función de la posición x.

Fig 2. Diferencias en la distribución de temperaturas en el interior de los sólidos según el valor del número de Biot. dT gradiente de temperatura, t tiempo, x longitud/espesor

Conclusiones

¿Cuánta exactitud estamos dispuestos a sacrificar para aplicar la simplificación y facilidad que implica el método de temperatura uniforme?

Una incertidumbre del 15 por ciento en el coeficiente de transferencia de calor por convección α se considera habitual. Este coeficiente depende no sólo de la composición del fluido, sino también de su temperatura en el proceso y de la velocidad en la fase de intercambio.

Por lo tanto, suponer α constante y uniforme es también una aproximación de validez cuestionable, especialmente para geometrías irregulares o caudales no constantes. En ausencia de datos experimentales suficientes para evaluar exactamente el proceso que esté bajo nuestra consideración, no se puede afirmar que los resultados tengan una precisión inferior a ± 15%, incluso cuando Bi= 0.

En definitiva, la introducción de otra fuente de incertidumbre en el problema no tendrá mucho efecto en la incertidumbre general, siempre que sea dicha nueva incertidumbre sea inferior a la ya existente.

Como regla básica se considera aceptable la simplificación que representa la aplicación del sistema de análisis conjunto cuando Bi ≤ 0,1, que representa en la mayoría de las ocasiones una diferencia de temperaturas entre superficie del cuerpo Tss y el punto más distante dentro del mismo Tsc inferior al 5%.

Ya más específicamente y basándose en resultados experimentales,  se han fijado como valores standard de aceptabilidad en función de la forma de cuerpo:

Placas	Bi < 0.1
Cilindros	Bi < 0.05
Esferas	Bi < 0.03

Aunque los avances en la informática permiten disponer de sofisticados programas informáticos que solucionan complicados problemas de transferencia de calor con rapidez y precisión, la utilización del método de temperatura uniforme con los criterios de aceptabilidad basados en los valores anteriormente indicados del número de Biot, continúan siendo una herramienta útil en los cálculos cotidianos.