Comment le nombre de Rayleigh relie la conduction et la convection

Le concept

Pour comprendre l’importance et la signification du nombre de Rayleigh, nous devons d’abord nous concentrer sur le concept de convection naturelle et sur les conditions dans lesquelles elle se produit.

Le terme convection vient du verbe latin « convecto convecto-are » qui signifie transporter vers un lieu. En transfert de chaleur, le concept de convection se réfère au processus d’« éloignement » de l’énergie thermique, depuis/vers un solide par l’intermédiaire d’un fluide adjacent en mouvement, en présence d’un gradient de températures. Le phénomène global implique deux mécanismes :

• Une première phase avec conduction de chaleur ; entre le solide et la couche adjacente de fluide au repos que nous pourrions appeler phase initiale.

• Une deuxième phase avec mouvement des particules du fluide, s’éloignant du solide et laissant place à d’autres du même fluide, que nous pourrions appeler proprement convection.

On peut considérer deux grands types en fonction de l’origine du mouvement du fluide :

• Convection forcée dans laquelle le mouvement du fluide est dû à un facteur externe, comme des ventilateurs, extracteurs ou pompes.

• Convection naturelle dans laquelle le mouvement du fluide est exclusivement dû à une différence de propriétés du fluide lui-même entre deux points déterminés du processus.

Convection naturelle

La convection naturelle se génère dans les fluides en présence d’un champ gravitationnel dû à des différences de densité provoquées par l’existence de différences de température à l’intérieur du fluide. Normalement, les variations de densité sont dues à des gradients de température, bien qu’il soit aussi courant que celles-ci soient dues à des gradients de concentration et que des phénomènes de convection naturelle puissent se présenter dans des fluides chargés électriquement lorsqu’ils sont soumis à l’action de champs électriques ou magnétiques.

Le phénomène le plus simple, et aussi le plus courant, est celui d’un fluide situé dans un champ gravitationnel et dans lequel existent des variations de densité provoquées par des gradients de température. Les mouvements générés dans le fluide dans ces circonstances constituent le phénomène universellement connu sous le nom de convection naturelle de Rayleigh-Bénard.

Le mouvement des fluides dû à la convection naturelle se présente tant dans la nature que dans les processus industriels. Dans la nature, il se manifeste par exemple dans le processus de mélange des eaux océaniques et dans la formation des tempêtes.

Dans l’industrie, sa présence est constante : dans les équipements électroniques ou dans les moteurs électriques industriels, l’exploitation de la convection naturelle pour la dissipation de chaleur est un facteur déterminant. Son apport est également important dans la ventilation des salles de chaudières ou de production, ou dans l’isolation et le chauffage des bâtiments.

Étant donné son importance, une connaissance approfondie de ses caractéristiques est nécessaire afin d’optimiser son application. Évidemment, parmi ces caractéristiques à connaître figure la détermination du moment où se produit le passage entre la phase initiale et la deuxième phase.

Dans le transfert de chaleur/énergie par convection forcée, il n’y a pas de doute : le démarrage de l’élément externe qui produit le mouvement, ventilateur ou pompe. Mais qu’en est-il de la convection naturelle ?

La théorie

En 1916, Lord Rayleigh, dans son article « On Convection Currents in a Horizontal Layer of Fluid, When the Higher Temperature Is Under Side », a développé une théorie à partir des expériences antérieures d’Henri Bénard en 1906, où il explique tous les mécanismes physiques impliqués dans le phénomène de convection naturelle et détermine en outre théoriquement l’existence d’une augmentation critique de température en dessous de laquelle aucun mouvement convectif ne peut exister dans le fluide dû exclusivement à des variations de propriétés. Jusqu’à dépasser cette valeur critique, il y a une « situation stable » – état stationnaire – dans le fluide.

Une situation est stable si elle est stationnaire, c’est-à-dire si, au fil du temps, son évolution n’est pas altérée par une petite modification de ses conditions initiales ou, formulé inversement, une situation est instable si une légère altération des conditions initiales provoque à son tour une altération significative de l’évolution du système.

Lorsqu’un fluide, dont la densité n’est pas uniforme, se trouve en présence de la gravité, la force de flottabilité, ou poussée d’Archimède, fait qu’une portion de fluide plus dense que son environnement tend à descendre, tandis qu’une portion de densité moindre tend à monter.

Nous devrions donc penser qu’un chauffage d’un fluide et donc une variation de densité en différents points provoquerait immédiatement un mouvement convectif. Cependant, en plus des forces de flottabilité, il faut prendre en compte dans le processus les mécanismes qui tendent à contrecarrer leur effet : la friction, provoquée par les forces de viscosité, et la conduction ou diffusion de chaleur, qui tend à homogénéiser dans le fluide le champ de températures et donc aussi celui des densités.

Ainsi, si dans un fluide initialement au repos avec une distribution de densités croissante dans la direction ascendante une perturbation est introduite, une parcelle de fluide retournera à sa situation de repos – « état stationnaire » – ou restera en mouvement – situation instable – selon l’importance relative des trois effets cités précédemment.

Seule la situation instable donne lieu au phénomène de convection naturelle ou convection de Bénard-Rayleigh.

Dans la Fig. 1, nous avons deux plaques séparées par une distance d et avec une couche de fluide au repos entre elles. Initialement, une stratification se présente due au chauffage depuis sa base (T2>T1), établissant un gradient de températures, fonction de la distance relative de chaque couche.

Cela est dû au fait que la densité du liquide diminue avec l’augmentation de la température et donc les couches supérieures sont plus denses que les couches de liquide inférieures. La stratification produira une configuration qui pourrait devenir potentiellement instable sous un champ gravitationnel vertical.

Fig 1. Situation stable, avec stratification selon température/densité

Puisque chaque couche a une température plus élevée et donc une densité plus faible que la couche supérieure, elle subirait une force de flottabilité différentielle qui la pousserait vers le haut. En rencontrant sur son chemin un fluide encore plus froid et dense, elle renforcerait le mouvement, jusqu’à devenir un élément déstabilisateur de l’évolution du système.

Cependant, comme nous l’avons déjà mentionné, deux processus stabilisateurs s’opposent. Premièrement, la vitesse induite tend naturellement à décroître en raison de la friction provoquée par la viscosité. Deuxièmement, la diffusion thermique provoquerait une tendance à uniformiser la température des couches. Par conséquent, la couche de fluide reste au repos tant que les processus stabilisateurs dominent, jusqu’à ce que la perturbation – différence de densités provoquée par la température – soit suffisamment élevée pour que se développe :

un ∆T supérieur à une valeur critique ∆Tc peut être appelé seuil d’instabilité

Dans le modèle des deux plaques précédentes, il n’y a plus de stratification et la distribution du fluide par température montre un circuit ascendant/descendant comme illustré dans la Fig. 2, formant les cellules convectives dites.

Fig 2. Cellules convectives. La force de flottabilité est supérieure à la résistance due à la viscosité et à la diffusion thermique

Pour déterminer ce seuil d’instabilité, Rayleigh a basé son étude sur la stabilité de petites perturbations par rapport à la situation de repos, linéarisant autour de la solution d’équilibre les équations de Navier-Stokes qui expliquent le mouvement du fluide entre plaques, découvrant que dans le système linéaire d’équations aux dérivées partielles résultant, apparaît naturellement le paramètre adimensionnel qui résume tous les paramètres participant à ce phénomène et permet de déterminer le moment où un fluide donné sous l’effet d’un gradient de températures passera à une situation d’instabilité et commencera le transfert de chaleur par convection naturelle.

Ce paramètre adimensionnel, appelé en son honneur nombre de Rayleigh, a pour formulation :

où :

• β, coefficient de dilatation thermique du fluide
• ν viscosité cinématique du fluide
• α diffusivité thermique du fluide
• g accélération de la gravité
• h épaisseur de la couche fluide – ou longueur caractéristique du domaine fluide –
• ΔT différence de température entre plaques

Le nombre de Rayleigh peut être interprété conceptuellement comme le paramètre adimensionnel qui mesure l’importance relative entre les effets des forces de flottabilité et les effets des forces de viscosité et de conduction thermique.

Pour des valeurs du nombre de Rayleigh inférieures à une certaine valeur critique, le système est en « état stationnaire ». Pour des valeurs supérieures à cette valeur, le système devient instable et les mouvements de convection naturelle apparaissent.

En 1926, Jeffreys a déterminé pour la première fois le nombre critique de Rayleigh pour le cas de plaques parallèles infinies, Ra=1708.

Étant donné que, comme éléments déterminants dans l’expression du nombre de Rayleigh, on observe un composant géométrique – h –, des différences importantes peuvent exister pour ce concept. Après la détermination de Jeffreys, par des raisonnements théoriques et essais expérimentaux, des valeurs du nombre de Ra ont été déterminées pour différentes géométries et caractéristiques du gradient de températures – bidimensionnel, tridimensionnel – ou des conditions aux limites.

Bien que nous nous soyons concentrés sur le phénomène de convection naturelle par variations de densité associées à des gradients de température dans un fluide de composition homogène, il existe, comme indiqué précédemment, de nombreuses circonstances où la convection naturelle est due à des variations de densité associées à des gradients de concentration dans des fluides hétérogènes. Un exemple de cette situation peut être observé dans les paysages des Salinas Grandes à Salta (Argentine) – Fig. 3 -.

Fig 3. Grandes Salinas, Salta (Argentine)

Ce sont des bassins fermés où s’accumule de l’eau pendant la saison des pluies. En saison sèche, l’eau s’évapore lentement sous l’action du soleil, laissant des couches fines de solution saumâtre très concentrée dans laquelle se produit la convection de Bénard. Le flux de liquide entraîne le sel et les cellules convectives se forment, où le fluide monte par le centre de la cellule et descend par le périmètre, cristallisant au fur et à mesure que l’eau s’évapore. Lorsqu’il est complètement sec, on peut voir une structure géométrique de sel qui reproduit une forme hexagonale et qui caractérise le phénomène de convection naturelle dans les systèmes à surface libre.