Comment simplifier pour les petits nombres de Biot

Introduction

Dans l’analyse des processus de transfert de chaleur, on observe que certains corps peuvent être considérés comme se comportant comme un ensemble, dont la température intérieure reste essentiellement uniforme – ne pas confondre avec constante – à tout moment durant ce processus de transfert de chaleur.

Dans ces situations, la température peut donc être considérée exclusivement comme fonction du temps, T (t). L’analyse du transfert de chaleur qui utilise cette idéalisation est connue sous le nom de système d’analyse groupée – Lumped System Analysis (LSA) – ou méthode de la température uniforme, et fournit une grande simplification dans certaines classes de problèmes de transfert de chaleur sans pertes significatives en précision des résultats.

Malheureusement pour les ingénieurs, cette simplification n’est pas applicable à tous les corps et conditions, et il est nécessaire de trouver un critère d’adéquation d’application.

Exemples

Prenons deux exemples de cas extrêmes.

Nous avons une petite boule d’acier que nous chauffons dans un four. Les mesures de température montrent qu’elle augmente avec le temps passé dans le four, mais il n’y a pratiquement pas de variations selon la position à un moment donné. Par conséquent, la température de la boule reste presque uniforme à tout moment, et nous pouvons parler de la température de la boule sans faire référence à un emplacement spécifique.

Nous remplaçons notre boule d’acier par une gigot d’agneau accompagnée de pommes de terre. Après un certain temps, la surface de la viande commence à montrer des signes de croustillant ayant atteint une température importante, bien plus élevée que celle du centre du gigot. Même si notre chauffage a été extrêmement lent et soigneux, et que nous pouvons obtenir un bon repas, nous ne pourrons pas éviter une différence importante de températures. Si en plus nous avons réglé le four à puissance et température maximales, le résultat sera « Quel dommage de la nourriture ! Ce gigot est brûlé à l’extérieur et cru à l’intérieur ».

Même les pommes de terre auront le même aspect brûlé/cru, ou ce qui revient au même, des températures très différentes ont été atteintes au centre et à la surface de ces produits.

Fig.1  Distribution des températures a) boule d’acier b) gigot d’agneau ou pommes de terre

Nous pouvons voir la distribution des températures dans la Fig. 1.

• T1 – Température de l’air dans le four
• Tsc – Température à l’intérieur du corps
• Tss – Température à la surface du corps

Dans notre boule d’acier (a), Tsc et Tss sont très proches, tandis que dans le gigot d’agneau (b) la différence entre les deux est importante.

Introduisons le critère d’adéquation de l’application de la méthode de température uniforme avec un autre exemple :

Il consiste à assimiler notre corps à une île. Il y a des systèmes de transport extérieurs – bateaux et avions –, qui permettent d’arriver à l’île, tandis qu’il existe aussi un réseau de transport intérieur de l’île – bus, trains, voitures particulières, etc. -.

Si la fréquence et la capacité des éléments de transport extérieur sont supérieures à celles du réseau intérieur, les personnes s’accumuleront dans les terminaux portuaires et aéroports car il sera difficile de trouver un moyen de transport pour se rendre à d’autres points de l’île et donc la densité de population dans l’île ne sera pas uniforme, avec une forte concentration de personnes à certains endroits – ports et aéroports -.

Si, au contraire, le réseau de transport intérieur est efficace, les gens se répartiront sur toute l’île et nous pourrions envisager une densité de population uniforme sur toute l’île.

Par conséquent, une relation entre les capacités des systèmes de transport extérieurs et intérieurs de l’île sera une base solide pour imaginer si la densité de population sur l’île est uniforme ou non.

Application des exemples

Voyons le développement de l’exemple pour les cas de transfert de chaleur.

Lorsqu’un corps est entouré par un fluide, il échange initialement de l’énergie entre le fluide et le corps par convection – bateaux et avions – et ensuite à l’intérieur, par conduction vers/depuis tous les points de ce corps – réseau de transport intérieur de l’île -.

Le nombre de Biot est un nombre adimensionnel qui nous permet de quantifier et d’avoir un critère d’applicabilité du système d’analyse groupée (LSA).

Il se définit comme :

Rapport entre convection entre fluide et corps et conduction dans le corps.

Il est également valable pour les conditions de chauffage ou de refroidissement du corps.

Développons un peu la définition précédente.

Qu’est-ce que la conduction ?

Lorsqu’il existe un gradient de température dans un corps dans la direction x, la chaleur se transmet de la région de température la plus élevée à celle de température la plus basse. La chaleur transmise par conduction, Qk, est proportionnelle au gradient de température dT, et à la distance X entre les points du gradient.

Le flux de chaleur transféré dépend d’une propriété du type de matériau du corps, la conductivité thermique k, grandeur qui représente la capacité de la substance à conduire la chaleur et donc à produire la variation de température correspondante.

L’équation (1) devient finalement

où k est le coefficient de conductivité thermique et A est la section d’échange (A = X x L)

L’équation (2) est connue sous le nom de Loi de Fourier

Voyons ce que nous entendons par convection

C’est le mécanisme de transfert de chaleur par mouvement de masse. Il peut être naturel, produit uniquement par les différences de densité de la substance, ou forcé, lorsque la substance est forcée de se déplacer d’un endroit à un autre – l’air avec un ventilateur ou l’eau avec une pompe -. Il ne se produit que dans les liquides et les gaz où les atomes et molécules sont libres de se déplacer dans le milieu. La chaleur échangée entre un fluide et un corps est déterminée par l’expression :

où α est le coefficient de convection

A est la surface d’échange entre corps et fluide

T₁ est la température du fluide

Tss la température de la surface du corps.

L’équation (3) est connue sous le nom de Loi de refroidissement de Newton,

Par conséquent, le nombre de Biot (Bi) sera :

En définitive, puisque le nombre de Biot est le rapport entre la résistance externe d’un corps à échanger de l’énergie par convection et la résistance interne à transmettre de l’énergie par conduction, une petite valeur du nombre de Biot implique une faible résistance à la transmission par conduction, et donc des gradients de température très faibles à l’intérieur du corps, permettant le système d’analyse groupée, et supposant une distribution de température uniforme dans tout le corps.

Bien sûr, plus le nombre de Biot est petit, plus l’application du système d’analyse groupée sera exacte, bien qu’évidemment totalement précise uniquement dans le cas où la résistance à la transmission de chaleur par conduction est nulle (Bi = 0).

Un exemple de distribution des températures dans un solide en fonction du temps t, et de la valeur du nombre de Biot, est montré dans la Fig. 2. Dans ce cas, nous montrons un système de refroidissement.

Dans l’image avec un corps à faible nombre de Biot (Bi<<1), à l’instant t=0, la température dans le corps est uniforme Ts1. La circulation d’un fluide à température plus basse parvient à refroidir progressivement le corps, mais le gradient thermique entre la température de surface du corps et celle du centre reste toujours très faible – dT ≈ cte -.

Dans les deux autres images, nous voyons la distribution des températures dans des solides avec des nombres de Biot plus élevés. Bien qu’au fur et à mesure que le processus de refroidissement avance, les gradients de température tendent à diminuer – dT1>>dT2 -, ils restent toujours à des valeurs inacceptables pour l’application de la simplification par la méthode de température uniforme.

Dans la première image, nous pouvons donc considérer que la température est pratiquement fonction exclusive du temps, tandis que dans les deux autres cas, elle dépend aussi de la position x.

Fig 2. Différences dans la distribution des températures à l’intérieur des solides selon la valeur du nombre de Biot. dT gradient de température, t temps, x longueur/épaisseur

Conclusions

Quelle précision sommes-nous prêts à sacrifier pour appliquer la simplification et la facilité que représente la méthode de température uniforme ?

Une incertitude de 15 pour cent dans le coefficient de transfert de chaleur par convection α est considérée comme habituelle. Ce coefficient dépend non seulement de la composition du fluide, mais aussi de sa température dans le processus et de la vitesse dans la phase d’échange.

Par conséquent, supposer α constant et uniforme est aussi une approximation dont la validité est discutable, surtout pour des géométries irrégulières ou des débits non constants. En l’absence de données expérimentales suffisantes pour évaluer exactement le processus considéré, on ne peut affirmer que les résultats ont une précision inférieure à ± 15 %, même lorsque Bi= 0.

En définitive, l’introduction d’une autre source d’incertitude dans le problème n’aura pas beaucoup d’effet sur l’incertitude générale, tant que cette nouvelle incertitude est inférieure à celle déjà existante.

Comme règle de base, la simplification représentée par l’application du système d’analyse groupée est considérée acceptable lorsque Bi ≤ 0,1, ce qui représente dans la plupart des cas une différence de températures entre la surface du corps Tss et le point le plus éloigné à l’intérieur Tsc inférieure à 5 %.

Plus spécifiquement, et sur la base de résultats expérimentaux, des valeurs standards d’acceptabilité ont été fixées en fonction de la forme du corps :

Plaques	Bi < 0.1
Cylindres	Bi < 0.05
Sphères	Bi < 0.03

Bien que les progrès en informatique permettent de disposer de programmes sophistiqués qui résolvent rapidement et précisément des problèmes complexes de transfert de chaleur, l’utilisation de la méthode de température uniforme avec les critères d’acceptabilité basés sur les valeurs indiquées précédemment du nombre de Biot reste un outil utile dans les calculs quotidiens.